Cara Menyelesaikan Barisan Geometri

Barisan geometri adalah urutan angka di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan konstanta tetap yang disebut rasio. Konsep ini penting dalam berbagai bidang matematika, sains, dan keuangan. Memahami cara menyelesaikan atau bekerja dengan barisan geometri melibatkan pengenalan pola, penggunaan rumus-rumus khusus, dan penerapan logika.

Apa Itu Barisan Geometri?

Sebuah barisan geometri dapat dituliskan secara umum sebagai:

a, ar, ar², ar³, ..., arⁿ⁻¹

Di mana:

a adalah suku pertama (U₁).
r adalah rasio barisan, yaitu hasil bagi antara suku mana pun dengan suku sebelumnya (r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = ...).
n adalah urutan suku yang dicari.
Un adalah suku ke-n.

Cara Menemukan Rasio (r)

Langkah pertama dalam menyelesaikan barisan geometri adalah mengidentifikasi rasio barisannya. Jika Anda diberikan beberapa suku pertama, Anda dapat menghitung rasio dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, atau suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya. Pastikan nilai r konsisten untuk seluruh barisan.

Misalnya, jika barisan Anda adalah 2, 6, 18, 54, maka:

r = 6 / 2 = 3

r = 18 / 6 = 3

r = 54 / 18 = 3

Jadi, rasio barisan ini adalah 3.

Rumus-Rumus Penting dalam Barisan Geometri

1. Mencari Suku ke-n (Un)

Untuk mencari nilai suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita menggunakan rumus:

Un = a * rⁿ⁻¹

Contoh: Dalam barisan 2, 6, 18, 54, berapakah suku ke-5?

Kita tahu a = 2, r = 3, dan n = 5. Maka:

U₅ = 2 * 3⁵⁻¹

U₅ = 2 * 3⁴

U₅ = 2 * 81

U₅ = 162

Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 162.

2. Mencari Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Untuk menemukan jumlah dari n suku pertama barisan geometri, ada dua rumus yang bisa digunakan, tergantung pada nilai rasio (r):

Jika r > 1 atau r < -1 (atau |r| > 1):

Sn = a * (rⁿ - 1) / (r - 1)

Jika -1 < r < 1 (atau |r| < 1):

Sn = a * (1 - rⁿ) / (1 - r)

Contoh: Berapakah jumlah 4 suku pertama dari barisan 2, 6, 18, 54?

Di sini, a = 2, r = 3, dan n = 4. Karena r > 1, kita gunakan rumus pertama:

S₄ = 2 * (3⁴ - 1) / (3 - 1)

S₄ = 2 * (81 - 1) / 2

S₄ = 2 * (80) / 2

S₄ = 80

Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah 80.

3. Mencari Jumlah Tak Hingga Suku (S∞)

Jumlah tak hingga suku hanya dapat dihitung jika nilai mutlak rasio (|r|) kurang dari 1 (yaitu, -1 < r < 1). Ini karena jika |r| ≥ 1, suku-suku akan terus membesar atau tetap sama, sehingga jumlahnya tidak akan konvergen ke nilai tertentu.

Rumusnya adalah:

S∞ = a / (1 - r)

Contoh: Tentukan jumlah tak hingga dari barisan geometri 10, 5, 2.5, 1.25, ...

Di sini, a = 10. Rasio r = 5 / 10 = 0.5. Karena |0.5| < 1, kita bisa menggunakan rumus ini.

S∞ = 10 / (1 - 0.5)

S∞ = 10 / 0.5

S∞ = 20

Jadi, jumlah tak hingga dari barisan tersebut adalah 20.

Tips Tambahan dalam Menyelesaikan Barisan Geometri

Perhatikan Tanda Rasio: Rasio (r) bisa positif, negatif, atau pecahan. Rasio negatif akan menghasilkan barisan yang bergantian tandanya (misalnya: 2, -4, 8, -16).
Identifikasi Suku Pertama (a) dengan Benar: Pastikan Anda tahu mana angka pertama dalam barisan yang diberikan.
Kalkulasi yang Hati-hati: Terutama saat menghitung pangkat dan pembagian, gunakan kalkulator jika diperlukan untuk meminimalkan kesalahan.
Uji Coba Rumus: Jika Anda ragu, coba gunakan rumus yang berbeda atau hitung beberapa suku awal secara manual untuk memverifikasi hasil Anda.
Pahami Konteks: Dalam soal cerita, identifikasi nilai a, r, dan n dari deskripsi masalah dengan cermat.

Dengan memahami definisi, menguasai rumus-rumus kunci, dan berlatih soal, Anda akan dapat menyelesaikan berbagai persoalan terkait barisan geometri dengan lebih mudah dan percaya diri.