Memahami Barisan Geometri: Studi Kasus 5, 15, 45

Dalam dunia matematika, barisan dan deret merupakan konsep fundamental yang seringkali muncul dalam berbagai aplikasi, mulai dari perhitungan bunga majemuk hingga analisis pertumbuhan populasi. Salah satu jenis barisan yang menarik adalah barisan geometri. Artikel ini akan mengupas tuntas mengenai barisan geometri dengan menggunakan contoh konkret: barisan 5, 15, 45. Kita akan menjelajahi karakteristik utamanya, termasuk rasio, dan bagaimana kita dapat memprediksi suku-suku berikutnya dalam barisan ini.

Apa Itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah sebuah barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan tetap yang tidak nol. Bilangan tetap ini dikenal sebagai rasio atau pembanding. Secara umum, barisan geometri dapat dituliskan sebagai:

Di mana:

• a adalah suku pertama (atau U₁).
• r adalah rasio barisan.
• n adalah nomor suku.
• Un adalah suku ke-n.

Menganalisis Barisan 5, 15, 45

Mari kita terapkan definisi ini pada barisan yang diberikan: 5, 15, 45.

Pertama, kita identifikasi suku pertamanya. Suku pertama (a atau U₁) dari barisan ini adalah 5.

Selanjutnya, kita perlu mencari rasio (r). Rasio dapat ditemukan dengan membagi suku mana pun dengan suku sebelumnya. Mari kita coba menghitungnya:

• Suku kedua dibagi suku pertama: 15 / 5 = 3
• Suku ketiga dibagi suku kedua: 45 / 15 = 3

Dari perhitungan di atas, terlihat bahwa rasio (r) untuk barisan ini adalah 3. Ini berarti setiap suku berikutnya adalah hasil dari mengalikan suku sebelumnya dengan 3.

Jadi, barisan geometri 5, 15, 45 memiliki:

• Suku pertama (a) = 5
• Rasio (r) = 3

Menentukan Suku Berikutnya

Dengan mengetahui suku pertama dan rasio, kita dapat dengan mudah menentukan suku-suku berikutnya dalam barisan ini.

Kita sudah memiliki suku ke-1 (5), suku ke-2 (15), dan suku ke-3 (45).

Untuk mencari suku ke-4 (U₄), kita kalikan suku ke-3 dengan rasio:

Untuk mencari suku ke-5 (U₅), kita kalikan suku ke-4 dengan rasio:

Dan seterusnya. Barisan ini akan terus berkembang secara eksponensial.

Rumus Umum Suku ke-n Barisan Geometri

Jika kita ingin mencari suku ke-n tanpa harus menghitung satu per satu, kita bisa menggunakan rumus umum suku ke-n barisan geometri:

Misalnya, untuk mencari suku ke-4 menggunakan rumus ini: n = 4, a = 5, r = 3.

Hasilnya sama dengan perhitungan sebelumnya. Rumus ini sangat berguna untuk menemukan suku-suku yang letaknya jauh di dalam barisan tanpa perlu melakukan banyak perkalian berulang.

Aplikasi Barisan Geometri

Konsep barisan geometri memiliki banyak aplikasi praktis dalam kehidupan nyata. Contohnya meliputi:

• Pertumbuhan Populasi: Jika populasi suatu spesies tumbuh dengan tingkat persentase yang konstan setiap periode, maka pertumbuhannya dapat dimodelkan menggunakan barisan geometri.
• Bunga Majemuk: Jumlah uang di bank yang menerima bunga majemuk tumbuh secara eksponensial, mengikuti pola barisan geometri.
• Depresiasi Nilai: Nilai suatu aset, seperti mobil atau peralatan, yang menyusut sebesar persentase tetap setiap tahun juga mengikuti pola barisan geometri.
• Teknologi: Dalam beberapa konteks teknologi, seperti kecepatan pemrosesan atau ukuran penyimpanan data, dapat menunjukkan pertumbuhan atau penurunan yang mendekati pola barisan geometri.

Memahami cara kerja barisan geometri, seperti contoh 5, 15, 45, memberikan dasar yang kuat untuk menganalisis dan memprediksi berbagai fenomena pertumbuhan atau penurunan eksponensial. Dengan menguasai konsep rasio dan rumus suku ke-n, Anda dapat memecahkan berbagai masalah matematika dan memahami model-model yang relevan dalam sains dan keuangan.