Memahami Pola: Menghitung U7 dan U10 dari Barisan 1, 3, 6, 10

Kita dihadapkan pada sebuah barisan bilangan yang menarik: 1, 3, 6, 10. Sekilas, barisan ini mungkin tampak tidak memiliki keteraturan yang jelas. Namun, dengan pengamatan yang lebih cermat, kita dapat mengungkap pola matematis di baliknya. Barisan ini dikenal sebagai barisan bilangan segitiga (triangular numbers). Mari kita analisis bagaimana setiap suku terbentuk dari suku sebelumnya.

Menganalisis Pola Barisan

Untuk memahami cara kerja barisan ini, kita akan melihat selisih antara suku-suku yang berurutan:

• Suku ke-2 (U2) dikurangi Suku ke-1 (U1): 3 - 1 = 2
• Suku ke-3 (U3) dikurangi Suku ke-2 (U2): 6 - 3 = 3
• Suku ke-4 (U4) dikurangi Suku ke-3 (U3): 10 - 6 = 4

Terlihat jelas bahwa selisih antara suku-suku yang berurutan meningkat secara konstan, yaitu bertambah 1 pada setiap langkahnya. Selisih ini persis sama dengan nomor urut suku yang sedang kita hitung selisihnya (misalnya, selisih antara U2 dan U1 adalah 2, yang merupakan nomor urut suku kedua). Ini menandakan bahwa untuk mendapatkan suku ke-n, kita perlu menambahkan nilai 'n' ke suku sebelumnya.

Secara formal, jika kita menyatakan suku ke-n sebagai U_n, maka hubungan rekursif barisan ini dapat ditulis sebagai:

dengan kondisi awal U₁ = 1.

Menghitung Suku ke-7 (U7)

Dengan pola yang sudah teridentifikasi, kita dapat melanjutkan barisan ini untuk menemukan U7. Kita akan menerapkan rumus U_n = U_n-1 + n secara berurutan:

• U₁ = 1
• U₂ = U₁ + 2 = 1 + 2 = 3
• U₃ = U₂ + 3 = 3 + 3 = 6
• U₄ = U₃ + 4 = 6 + 4 = 10
• U₅ = U₄ + 5 = 10 + 5 = 15
• U₆ = U₅ + 6 = 15 + 6 = 21
• U₇ = U₆ + 7 = 21 + 7 = 28

Jadi, suku ke-7 (U7) dari barisan ini adalah 28.

Menghitung Suku ke-10 (U10)

Melanjutkan proses yang sama, kita dapat mencari U10:

• U₇ = 28
• U₈ = U₇ + 8 = 28 + 8 = 36
• U₉ = U₈ + 9 = 36 + 9 = 45
• U₁₀ = U₉ + 10 = 45 + 10 = 55

Oleh karena itu, suku ke-10 (U10) dari barisan ini adalah 55.

Rumus Langsung Bilangan Segitiga

Selain menggunakan metode rekursif, terdapat rumus langsung untuk menghitung suku ke-n dari barisan bilangan segitiga. Rumus ini didapatkan dari penjumlahan deret aritmatika 1 + 2 + 3 + ... + n. Rumusnya adalah:

Mari kita gunakan rumus ini untuk memverifikasi hasil kita:

Verifikasi U7:

Untuk n = 7:

Hasilnya sesuai, U7 adalah 28.

Verifikasi U10:

Untuk n = 10:

Hasilnya juga sesuai, U10 adalah 55.

Kesimpulan

Barisan 1, 3, 6, 10 merupakan contoh dari barisan bilangan segitiga, di mana setiap suku didapatkan dengan menambahkan nomor urut suku tersebut ke suku sebelumnya. Dengan memahami pola ini, kita dapat dengan mudah menghitung suku-suku berikutnya.

Suku ke-7 (U7) dari barisan ini adalah 28.

Suku ke-10 (U10) dari barisan ini adalah 55.

Kemampuan untuk mengenali dan menganalisis pola dalam deret angka adalah keterampilan fundamental dalam matematika, membuka pintu untuk pemahaman konsep yang lebih kompleks dan penerapan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan.